Броуновское движение

Первым фракталом считается классическое множество Кантора или пыль Кантора, названное по имени Георга Кантора, который описал его в 1883 году. Существование пыли кантора отмечалось до этого Генри Смитом в 1875 году или ещё ранее. Это множество известно как пример множества нулевой меры Лебега, чья мощность равна мощности континуума c.

Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасыванием средней трети (не включая концы) единичного отрезка. То есть исходное множество есть отрезок [0,1], и первый шаг состоит в удалении открытого интервала (1/3, 2/3). На следующем и всех остальных шагах выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, получается последовательность множеств рис.

Пыль Кантора

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект, известный как решето Серпинского. Этот треугольник один из самых ранних известных примеров фракталов.

Треугольник Серпинского

Еще совсем недавно фрактальные модели называли монстрами. Их не хотели признавать математики того времени, занимающиеся изучением линейных процессов. Никому не хотелось верить в то, что такие объекты можно где-либо применить. Большего всего настораживали такие понятия, как дробная размерность, бесконечная дисперсия,  а также то, что ни через одну точку не возможно было провести касательную.

В 1930 году, Ральф Нельсон Эллиот, после того как провел ни один год, анализируя данные по фондовым рынкам, сделал заключение, что ценовые тренды и их развороты формируют узнаваемые ценовые паттерны, после чего он выделил и классифицировал 13 таких паттернов и описал, как они формируют большие и меньшие разновидности самих себя. Это открытие он назвал волновым принципом.  Сам же Эллиот не привязывал свою теорию к фракталам, он только сделал предположение, что движение цены САМОПОДОБНО по своей сущности и, основываясь на постулатах Доу, утверждал наличие циклов на финансовых рынках.

Цикл Эллиота

Основные принципы развития цикла Эллиота:

• Цены финансового рынка развиваются в виде распознаваемых моделей.
• Модели повторяются по форме.
• Развитие принимает форму пяти волн особой структуры.
• Три волны из них, обозначенные цифрами 1, 3, 5, действительно осуществляют направленное движение.
• Волны 1, 3, 5 разделяются двумя противотрендовыми коррекциями, обозначенными цифрами 2 и 4.
• Волна 2 никогда не заходит за начало волны 1.
• Волна 3 никогда не бывает самой короткой.
• Волна 4 никогда не заходит на территорию волны 1.

В 1958 году французский математик Бенуа Мандельброт приступил к работе в научно-исследовательском центре IBМ. Работая в IBM Мандельброт ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось именно переключаться с одной темы на другую, изучать различные направления. 
Исследуя экономику, Бенуа Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми. 
Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течении дня казались случайными, но Мандельброт смог выяснить тенденцию их изменения. Он проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось неожиданностью для экономистов. По-сути, Бенуа Мандельброт применил для решения этой проблемы зачатки своего рекурсивного (фрактального) метода. Само понятие «фрактал» происходит от латинского fractus, означающего «сломанный, разбитый». Термин был введен в 1975 году Бенуа Мандельбротом.

Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Масштабная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.

Самоподобие фракталов

Ещё один вариант определения: Фрактал - самоподобное множество нецелой размерности. Самоподобное множество - множество, представимое в виде объединения одинаковых непересекающихся подмножеств подобных исходному множеству.

• Они имеют тонкую структуру, т. е. содержат произвольно малые масштабы.
• Они слишком нерегулярны, чтобы быть описанными на традиционном геометрическом языке.
• Они имеют некоторую форму самоподобия, допуская приближённую.
• Они имеют дробную "фрактальную" размерность, называемую также размерностью Минковского. (Для самоподобных множеств, типа канторового множества)

Сам Мандельброт использовал в своих работах результаты других ученых, таких как Пуанкаре, Жюлиа, Кантор и Хаусдорф. Пуанкаре был выдающимся математиком XVIII – XX века, в его работах исследованы случайные процессы поведения системы, где был сделан вывод о том, что изменение поведения в начальных условиях ведет к изменению развития всей системы в целом и, следовательно, к невозможному точному предсказанию ее поведения  в будущем. Жюлиа и Кантор знамениты своими фрактальными множествами, которые названы в честь их создателей. По началу в своих работах, Мандельброт опирался на понятие размерности объектов, которое было введено Хаусдорфом и Безековичем, однако в последствии, работая с более сложным поведением фрактальных кривых, Мандельброт, для описания размерности, использовал  показатель Хёрста.

Свой эмпирический закон Хёрст открыл, занимаясь изучением Нила. Впоследствии оказалось, что многие другие природные явления хорошо описываются этим законом. Оказывается, временные последовательности измерений таких величин, как температура, сток рек, количество осадков, толщина колец деревьев или высота морских волн можно исследовать методом нормированного размаха или методом Хёрста. Такие последовательности характеризуются показателем Н, показателем Хёрста.

Временные последовательности, для которых Н больше 0.5, относятся к классу персистентных - сохраняющих имеющуюся тенденцию. Если приращения были положительными в течение некоторого времени в прошлом, то есть происходило увеличение, то и впредь в среднем будет происходить увеличение. Таким образом, для процесса с Н > 0.5 тенденция к увеличению в прошлом означает тенденцию к увеличению в будущем. И наоборот, тенденция к уменьшению в прошлом означает, в среднем, продолжение уменьшения в будущем. Чем больше Н, тем сильнее тенденция.

При Н=0.5 никакой выраженной тенденции процесса не выявлено, и нет оснований считать, что она появится в будущем.

Случай Н < 0.5 характеризуется антиперсистентностью - рост в прошлом означает уменьшение в будущем, а тенденция к уменьшению в прошлом делает вероятным увеличение в будущем. И чем меньше Н, тем больше эта вероятность. В таких процессах после возрастания переменной обычно происходит её уменьшение, а после уменьшения - возрастание.

Показатель Хёрста. Н=0.9

Показатель Хёрста. Н=0.5

Показатель Хёрста. Н=0.2

Применение данного показателя на финансовых рынках и посей-день вызывает противоречивое мнение. Встает вопрос о том, какое количество данных необходимо для его расчетов и здесь разброс от 1000 до бесконечности. Многие задаются вопросом, что вообще полезного можно выявить, определив показателей Херста?

Даже было создано несколько индикаторов для определения данного показателя, которые, как мне известно, не получили общественного признания и популярности. Дело в том, что трейдер интерпретирует значение показателя Н равного 0.7, как для входа в рынок с устойчивой тенденцией развития, а следовательно использует второй постулат Доу об устойчивых тенденциях. Есть даже такая поговорка: «Trend is your frend», из которой следует, что трейдеру нужно только понять движется ли цена в тренде или в коридоре, и если цена развивается в тренде, то осуществить сделку с расчетом на то, что тренд не прекратит своего «существования».

Конечно же, данные индикаторы не работают не только потому, что расчетные в них формулы, вычисляются порой неграмотно, но и потому, что трейдер неграмотно интерпретирует информацию, полученную на их основе.

В 2000 году, вышла книга  Эдгара Петерса «Хаос и порядок на рынках капитала», где автор делает попытку показать применение фрактальной теории к финансовым рынкам с математической точки зрения. Петерсом были выявлены циклы с периодичностью в 4 года, тогда как, по словам самого исследователя, с практической точки зрения они бесполезны. В основном работа Эдгара Петерса посвящена определению риска по отношению к финансовым рынкам, таким, как валютный, фондовый и фьючерсный. Саму длину цикла он определял с помощью показателя Херста. В своих трудах Бенуа Мандельброт раскрывает понятие непериодических циклов и вытекающих отсюда особенностей развития временного ряда, поэтому выявленная Петерсом периодичность до сих пор остается лишь теоретическим предположением и не получила широкого применения с точки зрения практики.

В 2001 году, наконец, выходит труд, который доступен для понимания не только физиков и математиков, но и для рядового трейдера – книга Билла Вильямса «Торговый хаос».

 «Я знал Билла в течение более чем восьми лет и наблюдал затем, как развивается его подход с позиций теории хаоса. Я полагаю, что его подход будет полезно изучить любому трейдеру. Билл имеет сверхъестественную способность превращать сложное в простое, разбирая его на «перевариваемые» части, позволяя «мыши» (среднему студенту) съесть «слона» (теорию хаоса), откусывая по кусочку.»

Именно благодаря этой книге, термин «фрактал» становится известным в широких кругах трейдеров. Однако, к сожалению, на этом мы и ограничимся, так как сама теория была привязана к уже давно известным аналитическим инструментам, таких как теория Эллиота, индикатор MACD, который выступил в роли чудо индикаторов AO и АС, а также индикатор объема, раскрашенный в разноцветные цвета. В первых главах, Билл много говорит о теории хаоса и даже упоминает Множество Мандельброта, говоря, что возможно именно в нем заложен ключ к пониманию финансовых активов. «Набор Мандельброта структурирован величиной 0.618, соотношением Фибоначчи. Он составлен исключительно с помощью винтовых форм и спиралей. Приблизительно так выглядит снизу раковина моллюска, очень похожая на набор Мандельброта. Возможно, эта форма является ключевой для соединения чисел Фибоначчи, волн Эллиота и фракталов в одну согласованную парадигму.»

Множество Мандельброта

В последующих частях книги раскрывается термин «фрактал» в понятии автора, что представляет собой комбинацию из пяти баров.

Фрактал Билла Вильямса

Билл Вильямс в своей теории концентрируется только на первом свойстве фракталов, а именно САМОПОДОБИИ, что собственно и послужило, пожалуй, основным выраженным недостатком. Комбинация из пяти баров, по мнению Билла, встречается в любом масштабе и благодаря своей структуре ее легко обнаружить среди хаоса. Многие моменты фрактальной теории так и остались в тени и скорее всего это был «фрактал Билла Вильямса» нежели, тот который изначально был предложен Бенуа Мандельбротом.  Как не парадоксально, но большинство трейдеров устраивает такое положение вещей и они даже не познакомились с трудами Мандельброта, Петерса, Федера, Шредера и других людей, которые работали в данной области с более профессиональным взглядом на вещи.  Что касается эффективности торговой системы, разработанной Биллом, то здесь мнения значительно расходятся: от высказываний того, что она убыточна до признания ее, как выдающуюся теорию XXI века. Меня же больше беспокоил вопрос, что есть фрактальная теория относительно финансов, можно ли найти методы, которыми она оперирует и внедрить их в торговую систему?

Большинство трейдеров, которые знакомы только с теорией Билла Вильямса по сей день ищут универсальную фигуру под названием «фрактал», которая будет ключом к разгадке кода финансового рынка, однако их попытки тщетны и заслуживают по-меньшей мере сочувствия.

Можно заметить, что все подходы, которые были описаны выше очень сильно разняться между собой в тех методах, которые использовались для их реализации. От такого разнообразия не только у новичка пойдет голова кругом, но и заставит задуматься самих создателей. Конечно, такой контраст создается за счет того, что цели у каждого автора были разные, например, Петерс, ставил перед собой задачу выявить возможные риски, связанные с торговлей на финансовых рынках, а не создавать торговую систему для  повседневной торговли, как это сделал Билл Вильямс. Однако, на мой взгляд, более универсальным в отношении данного вопроса оказался сам создатель теории фракталов Бенуа Мандельброт, которой занимался не только исследованием рисков и показал, что модель распределения финансовых активов вовсе не является нормальным распределением гаусса и  имеет более заостренную вершину и толстые хвосты, но и, что не менее важно, пытался создать модель поведения цены в графическом отображении.  В своей короткой статье «Прогулка по Уолл-стрит» он раскрывает такие понятия, как генератор и мультифрактальное биржевое время. Ошибкой комментария, приложенного практически к любой копии данной статьи, было то, что модели, разработанной Бенуа Мандельбротом, приписали те же свойства, что и циклу Эллиота, назвав последнюю первооткрывателем.

В своей книге «Фрактальная теория. Как поменять взгляд на финансовые рынки» я использовал графические принципы исследования фракталов. Такой подход мной был выбран по очень простой причине, так как сегодняшний математический аппарат не готов к исследованию нелинейных процессов. В данной области остается очень много нерешенных вопросов и противоречий. В своей последней книге, Бенуа Мандельброт призывает Американское правительство к выделению субсидий для организации научной лаборатории по исследованию фракталов. Возможно, есть смысл подойти к анализу рынка с математической точки зрения, однако для этого необходим колоссальный труд и профессиональные знания в области математического анализа. В своих исследованиях я использую уже созданную фрактальную функцию, с помощью которой возможно получение различных моделей, очень похожих на реальное движение цены, которое мы ежедневно наблюдаем на экранах своих мониторов. Данные модели доступны для понимания даже начинающим трейдерам.

Исследование фрактальной теории с позиции математики, возможно, послужит более точным инструментом для определения будущего движения цены, однако, графический анализ, не смотря на его некоторую субъективность, может дать толчок для колоссальных идей в области изучения фракталов.

В области применения фрактальной теории относительно финансовых рынков, мной было выявлено множество интересных свойств временного ряда, которые помогают вести целесообразную торговлю. С помощью фрактальной функции, мной получены модели, которые гораздо сложнее и профессиональнее тех, что предложил в XX веке Ральф Нельсон Эллиот, не говоря о таких паттернах, как голова и плечи, двойная вершина и т.д. Не смотря на сложность моделей, в ходе их изучения обнаруживаются интересные закономерности в их поведении. Со временем, данные модели очень прочно закрепляются в памяти трейдера, что позволяет найти профессиональный подход к интерпретации рынка.   

Исходя из множества Мандельброта, я объединил такие понятия, как золотое сечение, уровни Фиббоначчи, непериодические циклы и свойства фракталов в одну систему, в которой все ее составляющие элементы прибывают в гармонии и дополняют друг друга. 

Модель финансового рынка

В своей книге я не иду в разрез с основными свойствами фракталов и не ищу одной единственной универсальной модели. Изучая фракталы Мандельброта, я увидел рынок, таким, какой он есть на самом деле не больше и не меньше. Изучение моей теории поможет вам понять и увидеть реальные, а не теоретические циклы на валютном рынке. Вы поймете, почему новичок никак не может привести систему в порядок и, какие инструменты он упускает из виду при анализе основной структуры цены.

В книге я не используют математических формул, так как первостепенной целью было сделать теорию доступной и интересной для начинающих трейдеров.